Существует несколько формул для вычисления площади треугольника. Рассмотрим те, что изучаются в школе.
Первая формула вытекает из формулы площади параллелограмма и предлагается учащимся в виде теоремы: площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
Доказательство: пусть S – площадь треугольника АВС (см. рис. 5). Примем сторону АВ за основание треугольника и проведем высоту СН. Докажем, что .
Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВDС так, как показано на рисунке 5:
Треугольники АВС и DСВ равны по трем сторонам (ВС – их общая сторона, АВ=СD и АС=ВD как противоположные стороны АВСD), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь S треугольника АВС равна половине площади параллелограмма АВСD, то есть . Теорема доказана.
Важно обратить внимание учащихся на два следствия, вытекающих из данной теоремы. А именно:
1) площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
2) если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
Эти два следствия играют важную роль в решении разного рода задач. С опорой на данную доказывается еще одна теорема, имеющая широкое применение при решении задач: если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
Доказательство: пусть S и S1 – площади треугольников АВС и А1В1С1, у которых углы А и А1 равны (см. рис. 6).
Докажем, что
Наложим треугольник А1В1С1 на треугольник АВС так, чтобы вершина А1 совместилась с вершиной А, а стороны А1В1 и А1С1 наложились соответственно на лучи АВ и АС. Треугольники АВС и АВ1С имеют общую высоту СН, поэтому Треугольники АВ1С и АВ1С1 также имеют общую высоту - В1Н1, поэтому
Перемножая полученные равенства, находим:
или
. Теорема доказана.
Вторая формула тоже связана с параллелограммом: Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. Существует несколько способов доказательства этой формулы и один из них – достраивание треугольника до параллелограмма.
Докажем, что . Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВDС (см, рис. 7)
Треугольники АВС и DСВ равны по трем сторонам (ВС – общая сторона, АВ=DС, АС=DВ как противолежащие стороны параллелограмма). Площадь параллелограмма можно найти по формуле . Тогда по основным свойствам площади площадь треугольника АВС равна
. Что и требовалось доказать.
Третья формула для площади треугольника – формула Герона названа так в честь древнегреческого ученого Герона Александрийского, жившего в первом веке нашей эры. Эта формула позволяет находить площадь треугольника, зная его стороны. Эта формула удобна тем, что позволяет не делать никаких дополнительных построений и не измерять углов. Ее вывод основывается на второй из рассмотренных нами формул площади треугольника и теореме косинусов:
Информация по педагогике:
Виды и причины отклонений
В зависимости от причин возникновения нарушений их подразделяют на врожденные и приобретенные. Причины возникновения врожденных нарушений разнообразны. К первой группе относятся патогенные (вызывающие нарушения) факторы, действующие на развивающийся плод во внутриутробном развитии, такие как: v физ ...
Описание формирующего этапа экспериментальной работы
Для последующего формирования логических УУД был организован формирующий эксперимент. Для этого были разработаны уроки по курсу «Окружающий мир» с использованием системы заданий по повышению эффективности формирования логических УУД. Система заданий, использованная на уроках, включала в себя следую ...
Система деятельности социального педагога
Система деятельности социального педагога, как указывают А.В. Мудрик, В.И. Загвязинский, В. Бочарова, представляет собой последовательную совокупность различных видов педагогической деятельности [Мудрик]. Она отражена на схеме 1. Схема 1. Система деятельности социального педагога Сферой приложения ...
Дистанционное обучение
Дистанционную форму обучения специалисты по стратегическим проблемам образования называют образовательной системой 21 века.