Существует несколько формул для вычисления площади треугольника. Рассмотрим те, что изучаются в школе.
Первая формула вытекает из формулы площади параллелограмма и предлагается учащимся в виде теоремы: площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
Доказательство: пусть S – площадь треугольника АВС (см. рис. 5). Примем сторону АВ за основание треугольника и проведем высоту СН. Докажем, что .
Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВDС так, как показано на рисунке 5:
Треугольники АВС и DСВ равны по трем сторонам (ВС – их общая сторона, АВ=СD и АС=ВD как противоположные стороны АВСD), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь S треугольника АВС равна половине площади параллелограмма АВСD, то есть . Теорема доказана.
Важно обратить внимание учащихся на два следствия, вытекающих из данной теоремы. А именно:
1) площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
2) если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
Эти два следствия играют важную роль в решении разного рода задач. С опорой на данную доказывается еще одна теорема, имеющая широкое применение при решении задач: если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
Доказательство: пусть S и S1 – площади треугольников АВС и А1В1С1, у которых углы А и А1 равны (см. рис. 6).
Докажем, что
Наложим треугольник А1В1С1 на треугольник АВС так, чтобы вершина А1 совместилась с вершиной А, а стороны А1В1 и А1С1 наложились соответственно на лучи АВ и АС. Треугольники АВС и АВ1С имеют общую высоту СН, поэтому Треугольники АВ1С и АВ1С1 также имеют общую высоту - В1Н1, поэтому
Перемножая полученные равенства, находим:
или
. Теорема доказана.
Вторая формула тоже связана с параллелограммом: Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. Существует несколько способов доказательства этой формулы и один из них – достраивание треугольника до параллелограмма.
Докажем, что . Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВDС (см, рис. 7)
Треугольники АВС и DСВ равны по трем сторонам (ВС – общая сторона, АВ=DС, АС=DВ как противолежащие стороны параллелограмма). Площадь параллелограмма можно найти по формуле . Тогда по основным свойствам площади площадь треугольника АВС равна
. Что и требовалось доказать.
Третья формула для площади треугольника – формула Герона названа так в честь древнегреческого ученого Герона Александрийского, жившего в первом веке нашей эры. Эта формула позволяет находить площадь треугольника, зная его стороны. Эта формула удобна тем, что позволяет не делать никаких дополнительных построений и не измерять углов. Ее вывод основывается на второй из рассмотренных нами формул площади треугольника и теореме косинусов:
Информация по педагогике:
Документы о сдачи ЕНТ
Выпускники, сдавшие ЕНТ, получают в школе сертификат о результатах ЕНТ и аттестат о среднем общем образовании. В аттестат выставляется оценка, полученная на ЕНТ. Форму сертификата утверждает Министерство. Сертификат действителен в течении года со дня его выдачи. Сертификат заполняется государственн ...
Информационные технологии
дистанционного обучения
Основная роль, выполняемая телекоммуникационными технологиями в дистанционном обучении - обеспечение учебного диалога. Обучение без обратной связи, без постоянного диалога между преподавателем и обучаемым невозможно. Обучение (в отличие от самообразования) является диалогичным процессом по определе ...
Анализ интеллектуальных умений умственно отсталых воспитанников в процессе
осуществления заданий по ручному труду
Для проведения коррекционной работы требуется специально организованная предметно- пространственная развивающая среда: функциональные и ориентированные игрушки и пособия для развития сенсомоторных функций, пособия и материалы для развития мелкой моторики, кабинет труда должен быть оснащен по аналог ...
Дистанционное обучение
Дистанционную форму обучения специалисты по стратегическим проблемам образования называют образовательной системой 21 века.