Площадь треугольника

Существует несколько формул для вычисления площади треугольника. Рассмотрим те, что изучаются в школе.

Первая формула вытекает из формулы площади параллелограмма и предлагается учащимся в виде теоремы: площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Доказательство: пусть S – площадь треугольника АВС (см. рис. 5). Примем сторону АВ за основание треугольника и проведем высоту СН. Докажем, что .

Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВDС так, как показано на рисунке 5:

Треугольники АВС и DСВ равны по трем сторонам (ВС – их общая сторона, АВ=СD и АС=ВD как противоположные стороны АВСD), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь S треугольника АВС равна половине площади параллелограмма АВСD, то есть . Теорема доказана.

Важно обратить внимание учащихся на два следствия, вытекающих из данной теоремы. А именно:

1) площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

2) если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

Эти два следствия играют важную роль в решении разного рода задач. С опорой на данную доказывается еще одна теорема, имеющая широкое применение при решении задач: если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Доказательство: пусть S и S1 – площади треугольников АВС и А1В1С1, у которых углы А и А1 равны (см. рис. 6).

Докажем, что

Наложим треугольник А1В1С1 на треугольник АВС так, чтобы вершина А1 совместилась с вершиной А, а стороны А1В1 и А1С1 наложились соответственно на лучи АВ и АС. Треугольники АВС и АВ1С имеют общую высоту СН, поэтому Треугольники АВ1С и АВ1С1 также имеют общую высоту - В1Н1, поэтому Перемножая полученные равенства, находим: или . Теорема доказана.

Вторая формула тоже связана с параллелограммом: Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. Существует несколько способов доказательства этой формулы и один из них – достраивание треугольника до параллелограмма.

Докажем, что . Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВDС (см, рис. 7)

Треугольники АВС и DСВ равны по трем сторонам (ВС – общая сторона, АВ=DС, АС=DВ как противолежащие стороны параллелограмма). Площадь параллелограмма можно найти по формуле . Тогда по основным свойствам площади площадь треугольника АВС равна . Что и требовалось доказать.

Третья формула для площади треугольника – формула Герона названа так в честь древнегреческого ученого Герона Александрийского, жившего в первом веке нашей эры. Эта формула позволяет находить площадь треугольника, зная его стороны. Эта формула удобна тем, что позволяет не делать никаких дополнительных построений и не измерять углов. Ее вывод основывается на второй из рассмотренных нами формул площади треугольника и теореме косинусов:

Информация по педагогике:

Содержание и методы коррекционной работы с детьми и подростками
Объект педагогической коррекции - это отдельные сферы личности детей, подвергающиеся изменению, а предмет коррекции - та психическая реальность, на которую направлено коррекционное воздействие. Содержание коррекционной работы с детьми чаще всего связано со следующей группой трудностей: Несоответств ...

Использование задач-головоломок в развитие представлений о форме предметов у детей экспериментальной группы
Представления детей о форме предметов имеет большое значение при обнаружении, различении и узнавании предметов. Немаловажная роль в развитии у детей представлений о форме предметов принадлежит задачам-головоломкам. Они интересны для детей, эмоционально захватывают их. А процесс решения, поиска отве ...

Анализ программ дошкольного воспитания по проблеме развития исследовательской деятельности
С целью выявления направленности содержания дошкольного образования на развитие исследовательских способностей детей мы провели анализ ряда образовательных программ, рекомендованных Министерством образования Российской Федерации для детей дошкольного возраста. В программе «Из детства – в отрочество ...