Описание логики решения творческих задач

1. Решение простых задач.

Аналогично задаче о трисекции угла, учащимся не предлагается сразу решить задачу об удвоении куба. Сначала ставится легко решаемая задача об удвоении квадрата, т. е. построении квадрата, который превосходил бы данный по площади в два раза.

2. Создание ситуации затруднения.

Следующим шагом учащимся предлагается обобщить задачу об удвоении квадрата, таким образом, будет сформулирована задача об удвоении куба. Нужно попытаться решить ее аналогично предыдущей задаче.

3. Осознание недостаточности средств для решения задачи.

Решение задачи об удвоении куба сводится к построению циркулем и линейкой корня кубического из двух. Но провести это построение невозможно. Нужно рассмотреть построения, осуществимые при помощи циркуля и линейки, и убедиться, что корень третьей степени к ним не относится. Можно ли решить задачу об удвоении куба, используя дополнительные средства?

4. Введение дополнительного средства (исторический материал).

Учащимся предлагается рассмотреть предложенное Гиппократом Хиосским сведение задачи об удвоении куба к отысканию «вставок». Школьникам выдаются тексты, в которых описаны приборы для их нахождения: прибор Платона и мезолябий Эратосфена.

Остается открытым вопрос, можно ли получить ребро куба без помощи «вставок». Для этого учащимся предлагается рассмотреть функции, к которым свел задачу Менехм.

5. Анализ и применение средств.

Нужно изучить принцип построения «вставок» и выделить, что будет являться ребром удвоенного куба. Как же найти эти «вставки»? Учащиеся должны разобраться с устройством приборов для их нахождения, восстановить построение «вставок» и выделить ребро удвоенного куба.

Нужно разобраться, как получены функции Менехма, и как с их помощью построить ребро удвоенного куба. Для этого необходимо построить графики функций и найти ребро удвоенного куба по графику.

1. Решение простых задач.

Сначала учащимся предлагается построить квадрат, равный по площади данному прямоугольнику, затем треугольнику. Эти задачи достаточно легко решаются.

2. Создание ситуации затруднения.

Тогда школьникам предлагается построить квадрат, равный по площади данному кругу. Эта задача вызывает затруднение, так как сводится к построению .

3. Осознание недостаточности средств для решения задачи.

Так как построить не удается, учащиеся формулируют гипотезу о неразрешимости задачи и приступают к поискам приближенного решения. Такие решения должны быть обоснованы, и указана степень точности.

4. Введение дополнительного средства (исторический материал).

После этого учащимся предлагается рассмотреть треугольник Бинга. В качестве еще одного средства решения задачи о квадратуре круга выступает квадратриса. Учащимся предлагается воспользоваться соотношением и теоремой, при помощи которых задачу решал Динострат.

5. Анализ и применение средств.

Нужно разобраться в построении треугольника Бинга, исследовать способ нахождения стороны искомого квадрата, выделить, является решение приближенным или точным.

Нужно изучить построение квадратрисы и выделить ее основное свойство. Применить предложенные формулы для решения задачи.