Площадь параллелограмма

Вывод формулы площади параллелограмма сводится к построению прямоугольника, равного данному параллелограмму по площади. Примем одну сторону параллелограмма за основание, а перпендикуляр, проведенный из любой точки противолежащей стороны на прямую, содержащую основание будем называть высотой параллелограмма. Тогда площадь параллелограмма будет равна произведению его основания на высоту.

Теорема: площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Доказательство: рассмотрим параллелограмм АВСD с площадью S. Примем сторону АD за основание и проведем высоты ВН и СК (см. рис.3). Требуется доказать, что .

Докажем сначала, что площадь прямоугольника НВСК также равна S. Трапеция АВСК составлена из параллелограмма АВСD и треугольника DСК. С другой стороны, она составлена из прямоугольника НВСК и треугольника АВН. Но прямоугольные треугольники DСК и АВН равны по гипотенузе и острому углу (их гипотенузы АВ и СD равны как противоположные стороны параллелограмма, а углы 1 и 2 равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямых АВ и СD секущей АD), поэтому их площади равны. Следовательно, площади параллелограмма АВСD и прямоугольника НВСК также равны, то есть площадь прямоугольника НВСК равна S. По теореме о площади прямоугольника , но так как ВС=АD, то . Теорема доказана.

Пользуясь соотношениями между углами и сторонами треугольника можно вывести еще одну формулу для вычисления площади параллелограмма:

Воспользуемся только что полученной формулой и выразим высоту ВН через сторону АВ. В прямоугольном треугольнике АВН ВН – катет, лежащий против угла А, АВ – гипотенуза. Тогда . Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.

Вывод формулы площади параллелограмма в первом случае основан на теме «площадь прямоугольника» и основных свойствах площади, во втором случае – на тригонометрических соотношениях, поэтому для успешного усвоения этих формул необходимо повторить ранее изученный материал.

Задача2: Деревянная рамка, имеющая форму прямоугольника со сторонами a

и

b

,

была деформирована так, что длины ее сторон сохранились (рис.4). Высота получившегося параллелограмма равна h

.

Выразите площадь получившейся рамки через площадь исходной.

Решение: Начальная рамка имела площадь прямоугольника со сторонами a

и

b

. Значит ее площадь S1=

ab

.

Так как получившаяся рамка имеет форму параллелограмма, то ее площадь вычисляется по формуле S2=bh

. Составим отношение . или , то есть площадь параллелограмма со сторонами равными сторонам прямоугольника во столько раз меньше площади прямоугольника, во сколько раз высота, проведенная к одной стороне больше другой стороны.

Информация по педагогике:

Характеристика структуры и содержания экзаменационной работы по математике
Работа состоит из трех модулей: «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика». В модули «Алгебра» и «Геометрия» входит две части, соответствующие проверке на базовом и повышенном уровнях, в модуль «Реальная математика» - одна часть, соответствующая проверке на базовом уровне. При проверке базовой м ...

Реформы Болонского процесса
Основными документами Болонского процесса являются Великая хартия университетов (Болонья, 1988), Лиссабонская конвенция (1997), Сорбоннская декларация (Париж, 1998) и Болонская декларация (1999). Изучение документов по Болонскому процессу даёт возможность не только понять смысл энтузиазма европейск ...

Особенности организации и методика обучения ручному труду
В экспериментальном обучении приняли участие 60 воспитанников. Результаты первичного обследования по методике констатирующего эксперимента (глава вторая) позволили считать данную группу репрезентативной. При отборе содержания и методов обучения ручному труду мы учитывали не только данные констатиру ...