Площадь параллелограмма

Вывод формулы площади параллелограмма сводится к построению прямоугольника, равного данному параллелограмму по площади. Примем одну сторону параллелограмма за основание, а перпендикуляр, проведенный из любой точки противолежащей стороны на прямую, содержащую основание будем называть высотой параллелограмма. Тогда площадь параллелограмма будет равна произведению его основания на высоту.

Теорема: площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Доказательство: рассмотрим параллелограмм АВСD с площадью S. Примем сторону АD за основание и проведем высоты ВН и СК (см. рис.3). Требуется доказать, что .

Докажем сначала, что площадь прямоугольника НВСК также равна S. Трапеция АВСК составлена из параллелограмма АВСD и треугольника DСК. С другой стороны, она составлена из прямоугольника НВСК и треугольника АВН. Но прямоугольные треугольники DСК и АВН равны по гипотенузе и острому углу (их гипотенузы АВ и СD равны как противоположные стороны параллелограмма, а углы 1 и 2 равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямых АВ и СD секущей АD), поэтому их площади равны. Следовательно, площади параллелограмма АВСD и прямоугольника НВСК также равны, то есть площадь прямоугольника НВСК равна S. По теореме о площади прямоугольника , но так как ВС=АD, то . Теорема доказана.

Пользуясь соотношениями между углами и сторонами треугольника можно вывести еще одну формулу для вычисления площади параллелограмма:

Воспользуемся только что полученной формулой и выразим высоту ВН через сторону АВ. В прямоугольном треугольнике АВН ВН – катет, лежащий против угла А, АВ – гипотенуза. Тогда . Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.

Вывод формулы площади параллелограмма в первом случае основан на теме «площадь прямоугольника» и основных свойствах площади, во втором случае – на тригонометрических соотношениях, поэтому для успешного усвоения этих формул необходимо повторить ранее изученный материал.

Задача2: Деревянная рамка, имеющая форму прямоугольника со сторонами a

и

b

,

была деформирована так, что длины ее сторон сохранились (рис.4). Высота получившегося параллелограмма равна h

.

Выразите площадь получившейся рамки через площадь исходной.

Решение: Начальная рамка имела площадь прямоугольника со сторонами a

и

b

. Значит ее площадь S1=

ab

.

Так как получившаяся рамка имеет форму параллелограмма, то ее площадь вычисляется по формуле S2=bh

. Составим отношение . или , то есть площадь параллелограмма со сторонами равными сторонам прямоугольника во столько раз меньше площади прямоугольника, во сколько раз высота, проведенная к одной стороне больше другой стороны.

Информация по педагогике:

Н.К. Крупская о дошкольном воспитании
В своем первом произведении — «Женщина-работница» (1899) — Надежда Константиновна пишет о тяжелом положении трудящейся матери в дореволюционной России. В капиталистическом обществе мать, занятая на работе, не может уделить необходимое время воспитанию своего ребенка. «Итак, мы видим,— подчеркивает ...

Н.К. Крупская о самоуправлении школьников
В педагогическом наследии Крупской самоуправление учащихся всегда рассматривается как неотъемлемая часть трудовой политехнической школы. Самоуправление учащихся в советской школе впервые узаконено «Положением об единой трудовой школе» и «Декларацией об основных принципах единой трудовой школы», в к ...

Программа по обучению детей младшего школьного возраста спортивным бальным танцам
Проблеме физического воспитания человека всегда уделялось большое внимание выдающимися педагогами, философами, мыслителями, учеными. Например, педагог-гуманист Ян Амос Коменский в своих трудах писал, что правильно выбранные и дозированные физические упражнения не только облегчают, но и помогают уче ...