Площадь параллелограмма

Вывод формулы площади параллелограмма сводится к построению прямоугольника, равного данному параллелограмму по площади. Примем одну сторону параллелограмма за основание, а перпендикуляр, проведенный из любой точки противолежащей стороны на прямую, содержащую основание будем называть высотой параллелограмма. Тогда площадь параллелограмма будет равна произведению его основания на высоту.

Теорема: площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Доказательство: рассмотрим параллелограмм АВСD с площадью S. Примем сторону АD за основание и проведем высоты ВН и СК (см. рис.3). Требуется доказать, что .

Докажем сначала, что площадь прямоугольника НВСК также равна S. Трапеция АВСК составлена из параллелограмма АВСD и треугольника DСК. С другой стороны, она составлена из прямоугольника НВСК и треугольника АВН. Но прямоугольные треугольники DСК и АВН равны по гипотенузе и острому углу (их гипотенузы АВ и СD равны как противоположные стороны параллелограмма, а углы 1 и 2 равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямых АВ и СD секущей АD), поэтому их площади равны. Следовательно, площади параллелограмма АВСD и прямоугольника НВСК также равны, то есть площадь прямоугольника НВСК равна S. По теореме о площади прямоугольника , но так как ВС=АD, то . Теорема доказана.

Пользуясь соотношениями между углами и сторонами треугольника можно вывести еще одну формулу для вычисления площади параллелограмма:

Воспользуемся только что полученной формулой и выразим высоту ВН через сторону АВ. В прямоугольном треугольнике АВН ВН – катет, лежащий против угла А, АВ – гипотенуза. Тогда . Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.

Вывод формулы площади параллелограмма в первом случае основан на теме «площадь прямоугольника» и основных свойствах площади, во втором случае – на тригонометрических соотношениях, поэтому для успешного усвоения этих формул необходимо повторить ранее изученный материал.

Задача2: Деревянная рамка, имеющая форму прямоугольника со сторонами a

и

b

,

была деформирована так, что длины ее сторон сохранились (рис.4). Высота получившегося параллелограмма равна h

.

Выразите площадь получившейся рамки через площадь исходной.

Решение: Начальная рамка имела площадь прямоугольника со сторонами a

и

b

. Значит ее площадь S1=

ab

.

Так как получившаяся рамка имеет форму параллелограмма, то ее площадь вычисляется по формуле S2=bh

. Составим отношение . или , то есть площадь параллелограмма со сторонами равными сторонам прямоугольника во столько раз меньше площади прямоугольника, во сколько раз высота, проведенная к одной стороне больше другой стороны.

Информация по педагогике:

Компьютерная химия
Компьютерная химия (Математическая химия) — сравнительно молодая область химии, основанная на применении теории графов к химическим задачам фундаментального и прикладного характера. Исходя из общего определения химии как науки о веществах и превращениях их в друг друга, можно сказать, что вещества ...

Организация исследования метода тестирования как средства педагогического контроля обученности старшеклассников
Для определения эффективности метода тестирования как средство педагогического контроля обученности старшеклассников в МОУ СОШ №4 поселка Пойковский Нефтеюганского района было проведено экспериментальное исследования. В эксперименте участвовали учащиеся 9-11 классов. Исследование проходило в три эт ...

Разработка уроков, посвященных изучению имени прилагательного, формирующих универсальные учебные действия
Перечень универсальных учебных действий, необходимых для формирования на каждом этапе обучения, был учтен нами при конструировании уроков русского языка, посвященных изучению имени прилагательного. При составлении планов уроков, посвященных изучению имени прилагательного, все задания и выполняемые ...