Площадь криволинейной трапеции

Криволинейной называется трапеция, одна из боковых сторон которой – отрезок кривой.

Нахождение площади криволинейной трапеции рассматривается в школе как одно из применений интеграла. При рассмотрении геометрического смысла интеграла [4] в 11 классе в учебнике так и говорится: «Коротко об интеграле можно сказать так: Интеграл – это площадь». Далее следует определение интеграла:

«Пусть дана положительная функция f

определенная на конечном отрезке [a,b]. Интегралом от функции f

на отрезке [a,b] называется площадь ее подграфика». «Подграфиком» здесь называется фигура, ограниченная графиком функции f

,

прямыми x=a и x=b и осью абсцисс, то есть криволинейная трапеция.

Идея нахождения площади криволинейной трапеции заключается в разбиении ее на множество прямоугольников. По свойству аддитивности площади, площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей прямоугольников. Точное же значение площади криволинейной трапеции находят, переходя от суммирования к интегрированию.

Задача: Найти площадь фигуры, заключенной между дугами парабол и .

Решение: Данная фигура ограничена графиками двух функций и , которые пересекаются в точке (1,1). Искомая площадь есть разность площадей криволинейных трапеций и .

Аналитически это можно записать как разность двух интегралов:.

Теперь попытаемся подытожить и обобщить все вышесказанное. Среди различных систем величин, изучаемых в школе на различных этапах обучения, учащиеся уже в начальной школе знакомятся с понятием площади плоской фигуры. На первых этапах обучения речь идет об интуитивном представлении о площади, а не о строгом математическом обосновании этого понятия.

Первоначально у учащихся представление о площади плоской фигуры связывается с подсчетом числа единичных квадратов. Изучение площади в школе начинается с рассмотрения площади прямоугольника (стороны которого соизмеримы с линейной единицей измерения). Программа курса геометрии предусматривает знакомство учащихся с вычислением площади с помощью палетки. Использование ее позволяет сделать не только доступным для учащихся изучение вопроса об измерении площади любой плоской фигуры, но и помогает им правильно понять идею измерения площади (подсчет числа единичных квадратов, помещающихся в данной фигуре). Переходя от непосредственного измерения площади путем сравнения ее с единицей измерения к способам косвенного измерения площадей, учителю необходимо обратить внимание учащихся на то, что для измерения площадей нет столь удобных приборов, какие были для измерения длин отрезков и величин углов. Поэтому стоит более внимательно разобраться с величиной – площадью и выявить способы ее нахождения

.

Сравнивая свойства площади со свойствами таких величин, как расстояние, угол, мы убеждаемся в том, что:

а) площади можно складывать между собой и умножать на положительные числа;

б) за единицу измерения площади можно выбрать некоторую площадь S, где S=ku, где k – некоторое число, u – единица площади.

С понятием «Площади фигур» впервые учащиеся знакомятся в курсе геометрии V класса. Понятие площади фигуры вводится аксиоматически, но делается это неявно, с опорой на жизненный опыт учащихся. Сначала вводится формула площади прямоугольника (с целыми длинами сторон; длины сторон – конечные десятичные дроби; длины сторон – бесконечные десятичные дроби). На ее основе выводится формула площади параллелограмма; последняя выводится при выводе формул площади треугольника: ; (вводится немного позднее); , трапеции, выпуклого многоугольника, описанного около круга; должное внимание уделяется формуле площади круга; формула выводится неявно на уровне наглядных представлений; VII – IX классы – основа – предельный переход от площади правильных вписанных и описанных n-угольников к площади круга. Рассматриваются такие площади подобных фигур: зависимость площади подобных фигур от отношения их линейных размеров; соответствующее соотношение выводится и для простых фигур с помощью разбиения их на конечное число треугольников.

Информация по педагогике:

Подбор, планирование игр по живой природе
Таблица 8 - Перспективный план по экологии Недели Вид деятельности I неделя Животный мир II неделя Дикие животные в лесу весной III неделя Домашние животные IV неделя Обобщение   Дни недели   пн вт ср чт пт сб пн вт ср чт пт сб пн вт ср чт пт сб пн вт ср чт пт сб Занятие (ИЗО, лепка) Ежик ...

Меры по предупреждению девиантного поведения подростков
Масштабы распространения подростковой девиантности диктуют необходимость принятия соответствующих превентивных мер. Рост девиантного поведения подростков в последние два десятилетия актуализировал внимание государственных органов к этой проблеме. Внимание государства к проблеме выразилось в разрабо ...

Физико-математическая школа им. М.А. Лаврентьева
Физико-математическая школа им. М. А. Лаврентьева при НГУ - школа с углубленным изучением естественнонаучных дисциплин. В 1961-1962 г. Сибирским отделением АН СССР была организованна и проведена Первая Всесибирская олимпиада школьников. С этого момента проведение олимпиад стало традиционным. А в ию ...