Анализ средств решения знаменитых задач древности

Поскольку дуги L1L2, L2L3 и L3В равны между собой, то соответственные им центральные углы L1AL2, L2AL3, L3AB также равны между собой и каждый из них равен α/3.

(равным отрезкам неподвижного радиуса АВ при помощи квадратрисы соответствуют и равные дуги окружности ДВ).

Знаменитые геометрические задачи древности – это задачи на построение, следовательно, их можно предлагать только после того, как у детей уже есть опыт построений при помощи циркуля и линейки. Эти построения вводятся в курсе школьной геометрии в седьмом классе.

Для выполнения трисекции прямого угла детям необходимы знания о равносторонних треугольниках, о хордах окружности, дети должны знать, что это такое. Этот материал изучается в седьмом классе.

Для понимания рассуждений о неразрешимости задачи необходимы знания тригонометрических функций sin x, cos x и основных тригонометрических формул. Этот материал изучается в конце девятого класса. Кроме того, должно быть изучено решение рациональных уравнений, это проходят в восьмом классе. Дополнительно нужно привести теорему о неразрешимости.

Теоретическое подтверждение возможности трисекции для некоторых углов может быть предложено учащимся только после изучения тригонометрических выражений и их преобразований в девятом классе. Также необходимы знания иррациональных чисел и решение уравнений. Это изучается в восьмом классе.

Для успешного изучения решения Архимеда учащимся должны быть известны свойства внешних углов и равнобедренных треугольников, которые изучаются в курсе геометрии в седьмом классе. Таким образом, показав ученикам седьмого класса подвижную линейку с двумя отметками при определенных условиях можно рассчитывать, что нужное построение будет выполнено.

Прежде, чем предлагать школьникам решить задачу о трисекции угла при помощи квадратрисы, нужно дополнительно указать детям способ ее построения, ее основные свойства, а при необходимости и вывод формулы квадратрисы. Для построения квадратрисы учащиеся должны уметь делить данный отрезок и дугу на четное число равных частей, опускать перпендикуляр. Такие построения вводятся в седьмом классе. Необходимо выяснить, умеют ли дети делить данный отрезок на три равные части, если нет, то нужно организовать детям это построение.

Задачу о трисекции угла без доказательства неразрешимости можно предлагать детям уже в седьмом классе, все необходимые знания, учитывая данные дополнительно, у них для этого есть. При этом нужно опустить формулировку теоремы неразрешимости. Задачу с доказательством неразрешимости и с теоретическим обоснованием трисекции некоторых углов можно давать только в конце девятого класса.

Задача об удвоении куба

Требуется построить ребро куба, который по объему был бы в два раза больше данного куба.

Происхождение задачи об удвоении куба связано, по-видимому, с желанием древних ученых обобщить легко решаемую задачу об удвоении квадрата, т. е. построении квадрата, который превосходил бы данный по площади в два раза.

Легенда

Трудности, связанные с решением задачи об удвоении куба, дали повод к возникновению легенд о происхождении этой задачи. В качестве примера приводим одну легенду. Она принадлежит Эратосфену (276—194 гг. до н. э.), знаменитому греческому математику, астроному и философу. Вот что он рассказал о причинах, побудивших древних ученых рассматривать задачу об удвоении куба.

Однажды на о. Делосе, что находится в Эгейском море, вспыхнула эпидемия чумы. Жители этого острова обратились за помощью и советом к дельфийскому оракулу, который служил при храме Аполлона в Дельфах (Дельфы—общегреческий религиозный центр в Фокиде, у подножия горы Парнас).

Чтобы прекратить страдания людей, ответил оракул, надо снискать милость богов, а для этого надо удвоить золотой жертвенник Аполлону (богу Солнца), который имел форму куба.

Жители Делоса поспешили отлить из золота два таких жертвенника, какой был установлен в храме Аполлона, и поставили один на другой, думая, что проблема удвоения кубического жертвенника ими решена.

Однако чума не прекращалась. Тогда они опять обратились к оракулу с недоуменным вопросом: «Почему же не прекращается чума, ведь мы удвоили золотой жертвенник всесильному Аполлону?» На это им оракул якобы ответил: «Нет, вы не решили поставленной задачи! Надо было удвоить жертвенник, не изменяя его кубической формы».

Информация по педагогике:

Общая психологическая характеристика школьника 13-15 лет
Для разработки методического пособия необходимо учитывать особенности возраста учеников. В большинстве случаев изучение темы «Движение» в школе проходит в то время когда ученикам от 13 до 15 лет. Что соответствует подростковому возрасту. В этот период происходит биологическое созревание ребенка, чт ...

Развитие детского коллектива
Коллектив – это развивающаяся социальная система. В зависимости от уровня развития различают складывающийся коллектив, т. е. находящийся в процессе своего становления (например, детский коллектив), и сложившийся, «зрелый» коллектив, т. е. коллектив с выработанной системой общественно значимых целей ...

Разработка уроков, посвященных изучению имени прилагательного, формирующих универсальные учебные действия
Перечень универсальных учебных действий, необходимых для формирования на каждом этапе обучения, был учтен нами при конструировании уроков русского языка, посвященных изучению имени прилагательного. При составлении планов уроков, посвященных изучению имени прилагательного, все задания и выполняемые ...