Анализ средств решения знаменитых задач древности

Поскольку дуги L1L2, L2L3 и L3В равны между собой, то соответственные им центральные углы L1AL2, L2AL3, L3AB также равны между собой и каждый из них равен α/3.

(равным отрезкам неподвижного радиуса АВ при помощи квадратрисы соответствуют и равные дуги окружности ДВ).

Знаменитые геометрические задачи древности – это задачи на построение, следовательно, их можно предлагать только после того, как у детей уже есть опыт построений при помощи циркуля и линейки. Эти построения вводятся в курсе школьной геометрии в седьмом классе.

Для выполнения трисекции прямого угла детям необходимы знания о равносторонних треугольниках, о хордах окружности, дети должны знать, что это такое. Этот материал изучается в седьмом классе.

Для понимания рассуждений о неразрешимости задачи необходимы знания тригонометрических функций sin x, cos x и основных тригонометрических формул. Этот материал изучается в конце девятого класса. Кроме того, должно быть изучено решение рациональных уравнений, это проходят в восьмом классе. Дополнительно нужно привести теорему о неразрешимости.

Теоретическое подтверждение возможности трисекции для некоторых углов может быть предложено учащимся только после изучения тригонометрических выражений и их преобразований в девятом классе. Также необходимы знания иррациональных чисел и решение уравнений. Это изучается в восьмом классе.

Для успешного изучения решения Архимеда учащимся должны быть известны свойства внешних углов и равнобедренных треугольников, которые изучаются в курсе геометрии в седьмом классе. Таким образом, показав ученикам седьмого класса подвижную линейку с двумя отметками при определенных условиях можно рассчитывать, что нужное построение будет выполнено.

Прежде, чем предлагать школьникам решить задачу о трисекции угла при помощи квадратрисы, нужно дополнительно указать детям способ ее построения, ее основные свойства, а при необходимости и вывод формулы квадратрисы. Для построения квадратрисы учащиеся должны уметь делить данный отрезок и дугу на четное число равных частей, опускать перпендикуляр. Такие построения вводятся в седьмом классе. Необходимо выяснить, умеют ли дети делить данный отрезок на три равные части, если нет, то нужно организовать детям это построение.

Задачу о трисекции угла без доказательства неразрешимости можно предлагать детям уже в седьмом классе, все необходимые знания, учитывая данные дополнительно, у них для этого есть. При этом нужно опустить формулировку теоремы неразрешимости. Задачу с доказательством неразрешимости и с теоретическим обоснованием трисекции некоторых углов можно давать только в конце девятого класса.

Задача об удвоении куба

Требуется построить ребро куба, который по объему был бы в два раза больше данного куба.

Происхождение задачи об удвоении куба связано, по-видимому, с желанием древних ученых обобщить легко решаемую задачу об удвоении квадрата, т. е. построении квадрата, который превосходил бы данный по площади в два раза.

Легенда

Трудности, связанные с решением задачи об удвоении куба, дали повод к возникновению легенд о происхождении этой задачи. В качестве примера приводим одну легенду. Она принадлежит Эратосфену (276—194 гг. до н. э.), знаменитому греческому математику, астроному и философу. Вот что он рассказал о причинах, побудивших древних ученых рассматривать задачу об удвоении куба.

Однажды на о. Делосе, что находится в Эгейском море, вспыхнула эпидемия чумы. Жители этого острова обратились за помощью и советом к дельфийскому оракулу, который служил при храме Аполлона в Дельфах (Дельфы—общегреческий религиозный центр в Фокиде, у подножия горы Парнас).

Чтобы прекратить страдания людей, ответил оракул, надо снискать милость богов, а для этого надо удвоить золотой жертвенник Аполлону (богу Солнца), который имел форму куба.

Жители Делоса поспешили отлить из золота два таких жертвенника, какой был установлен в храме Аполлона, и поставили один на другой, думая, что проблема удвоения кубического жертвенника ими решена.

Однако чума не прекращалась. Тогда они опять обратились к оракулу с недоуменным вопросом: «Почему же не прекращается чума, ведь мы удвоили золотой жертвенник всесильному Аполлону?» На это им оракул якобы ответил: «Нет, вы не решили поставленной задачи! Надо было удвоить жертвенник, не изменяя его кубической формы».

Информация по педагогике:

Красноярская Летняя Школа
Самым ярким представителем в этой области является Красноярская Летняя Школа. Школа включала в себя интенсивное изучение программ естественных и математических циклов. Интенсивная жизнь, существовавшая в лагере, включала в себя культурный досуг, командную работу над проектами и исследованием, интен ...

Планирование работы по изучению раздела «Элементы машиноведение»
Перспективно-тематическое планирование раздела «Технология обработки металлов. Элементы машиноведения» рассмотрено в приложении 1. Учебная программа является основным документом, которым руководствуется учитель, определяя объем знаний и умений, подлежащих усвоению учащимися на данном занятии, подби ...

Н.К. Крупская о самоуправлении школьников
В педагогическом наследии Крупской самоуправление учащихся всегда рассматривается как неотъемлемая часть трудовой политехнической школы. Самоуправление учащихся в советской школе впервые узаконено «Положением об единой трудовой школе» и «Декларацией об основных принципах единой трудовой школы», в к ...