Анализ средств решения знаменитых задач древности

Задача о трисекции угла

Требуется произвольный угол разделить на три равные части.

Деление прямого угла

Пользуясь циркулем и линейкой, древние греки умели делить произвольный угол на две равные части. Со времен Пифагора они умели делить прямой угол на три равные части. Это они выполняли так.

Пусть дан прямой угол АВС и требуется разделить его на три равные части, т.е. произвести трисекцию этого угла. Для этого из вершины данного угла В, как из центра, проводим окружность (для нужного построения достаточно провести четверть окружности). Точки пересечения окружности со сторонами АВ и ВС соответственно обозначим через М и N. Далее из точек М и N тем же радиусом делаем засечки R и Q. Теперь соединим хордами M и R, N и Q. Получаем два равносторонних треугольника ∆BRM и ∆BQN. Но в равностороннем треугольнике все три угла по 60о.

Следовательно, ∟MBR=∟QBN=60о. Тогда ∟MBQ=∟RBN=∟QBR=30о. Итак, данный прямой угол удалось разделить на 3 равные части.

Возможные построения

Чтобы иметь хотя бы некоторое представление о разрешимости и неразрешимости задач на построение, ограничимся следующим небольшим замечанием. Прежде всего, напомним, что при помощи циркуля и линейки можно сравнительно легко построить выражения:

где a, b, c суть данные или найденные отрезки.

Если решение задачи сводится к последовательному выполнению конечного числа этих операций, то задача оказывается разрешимой при помощи циркуля и линейки. Если же решение задачи не ограничивается последовательным выполнением указанных выше операций в конечном числе, то такую задачу при помощи циркуля и линейки решить невозможно. Задача о трисекции угла и является примером такой задачи, которую нельзя решить, прибегая только к циркулю и линейке, т. е. путем проведения окружностей и прямых линий.

Доказательство неразрешимости

Древнегреческие ученые без особого труда делили произвольный угол на три равные части с помощью разного рода механизмов. Но перед ними всегда стоял вопрос: почему трисекция угла, легко выполнимая при помощи специально изготовленных механизмов, не поддается разрешению при помощи циркуля и линейки. И вообще разрешима ли эта задача в общем виде при помощи таких классических чертежных инструментов?

Чтобы ответить на поставленный вопрос, приведем некоторые рассуждения. Обозначим данный угол, который требуется разделить на три равные части, через 3α. Рассмотрим cos3α. По известным формулам тригонометрии

Умножая левую и правую части полученного равенства на 2, получаем

.

Пусть теперь 2 cos 3α = а и 2cos α = x, тогда

а = x3-3x или х3—Зx— а = 0. (1)

Чтобы доказать, что задача о трисекции угла неразрешима в общем виде при помощи циркуля и линейки, достаточно указать хотя бы один угол, который нельзя разделить при помощи циркуля и линейки. Путем несложных рассуждений покажем, что таким свойством обладает, например, угол в 60°. Действительно, полагая 3 а = 60°, получим cos 3 a = 1/2, и уравнение (1) примет вид

х3 — Зх — 1 =0. (2)

В алгебре доказывается, что рациональными корнями уравнения могли бы быть +1 и —1, но ни то, ни другое указанному уравнению не удовлетворяет. Выходит, что уравнение не имеет рациональных корней и, следовательно, по теореме неразрешимости (приложение 1) угол в 60° нельзя разделить на три равные части при помощи циркуля и линейки. Заметим, из того, что угол в 60° не может быть разделен на три равные части при помощи циркуля и линейки, вытекает, что угол в 20°, а следовательно, и угол в 40° не могут быть построены с помощью указанных инструментов. Отсюда вытекает важное следствие: правильный девятиугольник, восемнадцатиугольник и т. д. не могут быть построены циркулем и линейкой.

Далее, для а уравнения можно было бы указать еще бесчисленное множество значений, для которых уравнение неразрешимо в квадратных радикалах, и, следовательно, существует бесчисленное множество углов, трисекция которых не может быть выполнена при помощи циркуля и линейки.

Информация по педагогике:

Биологическое и социальное в ребенке
Эта проблема — предмет давней и горячей полемики между двумя научными направлениями: биологизаторов, считающих, что человек имеет прирожденный и трудноизменяемый комплекс способностей, и средовиков, трактующих ребенка как «чистую доску», на которой социальный опыт и воспитание «рисуют» личность. Не ...

Определение понятия "часто болеющий ребенок"
В системе охраны здоровья матери и ребенка проблема часто болеющих детей (ЧБД) остается важной не только с медико-социальной, но и с экономической точки зрения. Основной объем ЧБД среди детского населения приходится на возраст 3 - 4 лет. Кроме этого, современные исследования показывают, что на долю ...

Формы организации по физическому воспитанию детей 3-го года жизни
Формы организации физического воспитания — это воспитательно-образовательный комплекс разнообразной деятельности ребенка, основу которой составляет двигательная активность. Использование разнообразных форм двигательной деятельности создает оптимальный двигательный режим, необходимый для полноценног ...