.
Обозначая NC через х и MB через у, находим .
Следовательно, х = NC и будет найденной величиной искомого ребра удвоенного куба. Делосская задача решена.
Решение Менехма
1) Решение задачи об удвоении куба с ребром а сводится к рассмотрению двух парабол:
Решая эти уравнения, как систему относительно x, будем иметь
Получаем 2 вещественных корня . Первый корень не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, искомым решением будет второй корень, т.е. ребро удвоенного куба равняется
.
Путем построения графиков обеих парабол искомое ребро куба получается, как ненулевая абсцисса точки пересечения парабол:
2) Задача об удвоении куба сводится к решению двух уравнений, из которых одно – уравнение гиперболы, а другое – уравнение параболы
.
Решая совместно относительно х, получим , или
. Следовательно,
. Путем построения графиков искомое ребро удвоенного куба находится, как абсцисса пересечения гиперболы с параболой:
Задачу об удвоении куба можно предлагать не ранее чем в восьмом классе, т.к. основным в решении является понятие иррационального числа. Кроме того, решение задачи опирается на изучаемые в восьмом классе теорему Пифагора и решение рациональных и иррациональных уравнений. Этот материал занимает прочное место и большой объем в курсе математики в восьмом классе, и дать его детям раньше представляет определенную трудность.
Учащиеся должны знать, что такое иррациональное число, что оно не выражается конечной или бесконечной периодической дробью, уметь извлекать квадратный корень, иметь представления о решении рациональных уравнений, должны знать формулировку теоремы Пифагора, уметь использовать ее.
Из того, что для построения ребра удвоенного куба необходимо построить , следует, что дети должны уметь извлекать корни n-й степени, в частности, корень кубический. Этот материал изучается в девятом классе.
Прежде, чем давать в рассмотрение задачу об удвоении куба, необходимо убедиться, что детям известны возможные построения циркулем и линейкой. Если же этого нет, то нужно обязательно предоставить детям возможность изучить этот материал, самостоятельно или с помощью учителя. Без этого знания учащиеся не смогут понять, почему при помощи циркуля и линейки построить нельзя. А это необходимое условие для дальнейшего продвижения в решении задачи.
Теорема неразрешимости не изучается в курсе школьной математики, поэтому ее формулировку и пояснение ее смысла следует давать детям дополнительно. Это возможно не ранее, чем в девятом классе, так как в теореме идет речь о кубическом уравнении, не имеющем рациональных корней.
Для понимания рассуждений о построении «вставок» требуется знание геометрической прогрессии, пропорций и их свойств. Это также указывает на невозможность изучения задачи до девятого класса, потому что именно в девятом классе проходят геометрическую прогрессию.
О геометрической прогрессии нужно знать: ее определение и следующее свойство – отношение двух, следующих друг за другом, членов геометрической прогрессии постоянно. О пропорции также нужно знать определение и свойство – произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.
Информация по педагогике:
Влияние учения на развитие личности
На умственное развитие оказывает принципиальное влияние деятельность учения. При этом определяющее значение имеет усвоение и развитие речи в системе обучения. К программному развитию речи относятся следующие виды обучения и развития ребенка: во-первых, усвоение литературного языка, подчиненного нор ...
Системно-деятельностный подход к обучению школьников ФГОС
второго поколения
Федеральный государственный образовательный стандарт второго поколения строится на системно-деятельностном подходе. Следовательно, сегодня предстоит отойти от традиционной передачи готового знания от учителя ученику. Задачей учителя становится включить самого ученика в учебную деятельность, организ ...
Состояние экологического образования в общеобразовательных школах
Республики Беларусь
В Беларуси с учётом мирового опыта была разработана и внедряется Концепция образования в области окружающей среды. Она опирается на ведущие международные и отечественные документы. Для обеспечения реализации на практике основных положений Концепции образования в области окружающей среды разработана ...
Дистанционное обучение
Дистанционную форму обучения специалисты по стратегическим проблемам образования называют образовательной системой 21 века.