Методика введения средств решения знаменитых задач древности

Когда общий способ удается выделить, он озвучивается у доски и этот этап завершается.

Четвертый этап, решение задачи «Квадратура круга» при помощи квадратрисы.

Задача о квадратуре круга

Построить квадрат, площадь которого была бы равновелика площади данного круга.

Решение Динострата при помощи квадратрисы

Пусть ANB – четверть окружности, расположенной в квадранте АОВ, а АМС – квадратриса этого квадранта. Далее Динострат воспользовался соотношением, которое позднее было доказано Паппом Александрийским: АNВ : ОВ = ОВ : ОС, где С – конечная точка квадратрисы.

Поскольку ОА = ОВ = R, то ANB : R = R : OC, или

ANB = R2/OC. Откуда длина окружности радиуса R равняется 4R2/OC. Т.о. длина окружности определена. Чтобы построить квадрат равновеликий кругу, Динострат воспользовался теоремой: площадь круга равна площади треугольника, основание которого равно длине окружности, а высота – радиусу круга.

6. Подведение итогов.

В конце урока подвести итоги, обсуждая вопросы: что делали? Каких результатов добились?

Задача об удвоении куба

Вклад в решение Гиппократа Хиосского

Одним из первых древнегреческих геометров, сделавших значительный шаг в решении задачи об удвоении куба путем привлечения к циркулю и линейке дополнительных средств, был Гиппократ Хиосский (V в. до н. э.).

Решение стереометрической задачи, какой является делосская задача об удвоении куба, Гиппократ Хиосский свел к рассмотрению планиметрической задачи, заключающейся в отыскании двух средних, пропорциональных между двумя данными отрезками, из которых второй в два раза больше первого. Т. е. к нахождению таких двух отрезков х и у, которые, будучи «вставлены» между двумя данными а и 2а, составили бы вместе с ними геометрическую прогрессию: а, х, у, 2а.

Поскольку а, х, у, 2а — геометрическая прогрессия, то

,

откуда х2 = ау и у2 = 2ах. Следовательно, х4 = а 2y2 = 2 а 3x или х3 = 2 а 3.

Вопросы и задания.

Каким образом строятся «вставки»?

Чему равно ребро удвоенного куба, если ребро данного куба равно а?

Вычислить, чему равны «вставки» х и у при а:

А) 1, В) 4,

Б) 2, Г) 6.

Решение Платона

Прибор Платона состоит из двух обыкновенных прямоугольных плотничьих наугольников, а само построение основано на лемме:

Лемма: Во всякой прямоугольной трапеции с перпендикулярными диагоналями, отрезки диагоналей образуют геометрическую прогрессию:

Построение «вставок» х и у, нужных для решения задачи об удвоении куба, проводится следующим образом. Берутся две взаимно перпендикулярные прямые m и n, пересекающиеся в точке О (см. рис.).

На прямой т вправо от точки О отложим отрезок ОС = а (а — сторона куба, подлежащего удвоению). На прямой n вниз от точки О отложим отрезок OD = 2а. Теперь возьмем два прямоугольных плотничьих наугольника (на чертеже заштрихованы) и расположим их так (см. рисунок), чтобы сторона первого наугольника проходила через точку С, которая считается данной, а вершина его находилась на прямой n; чтобы сторона второго наугольника проходила через точку D, которая также считается данной, а вершина находилась бы на прямой m; остальные две стороны наугольников должны соприкасаться.

Информация по педагогике:

Площадь прямоугольника
С площадью прямоугольника учащиеся знакомятся, уже изучая математику в пятом классе, но более детальное ее рассмотрение начинается в курсе геометрии восьмого ([3]) или девятого ([13]) класса. И в обоих случаях площадь прямоугольника рассматривается как часть темы «Площадь многоугольника». В пятом и ...

Система упражнений в организации обучения чтению текстов лингвострановедческого содержания и этапы работы с ними
В методике преподавания иностранного языка получила распространение идея обучения иноязычной культуре на основе концепции диалога культур. Авторский коллектив под руководством В.ГТ. Кузовлева предпринял попытку создать УМК, который через систему познавательных, учебных, развивающих и воспитательных ...

Роль медиаобразования в формировании информационно-правовой культуры современной молодежи
Развитие медиаобразования в России в XXI веке сопровождается вхождением человечества в информационное общество, одним из неотъемлемых составляющих которого является «общество знаний». Человек общества знаний должен «соблюдать права и основные свободы человека, включая свободу выражения своего мнени ...